Was ist eine Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable oder stochastische Variable ordnet das Ergebnis eines Zufallsexperiments einem reellen Wert zu. Einfach ausgedrückt, repräsentieren Zufallsvariablen Variabilität probabilistisch. Deshalb nehmen sie unterschiedliche Werte an, abhängig von den Ergebnissen probabilistischer Experimente oder zufälliger Verteilungen in einem Stichprobenraum.
Großgeschriebene, kursivierte römische Buchstaben wie 'X' oder 'Y' repräsentieren im Allgemeinen die Werte von Zufallsvariablen, die diskret (spezifische Werte) oder kontinuierlich (Werte innerhalb eines kontinuierlichen Bereichs) sein können.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik quantifizieren Zufallsvariablen die Ergebnisse zufälliger Ereignisse. Risikoanalysten verwenden statistische Analysesoftware, um die Wahrscheinlichkeit eines unerwünschten Ereignisses mit Zufallsvariablen darzustellen. Ökonometrische und Regressionsanalysen zeigen Beziehungen zwischen Zufallsvariablen.
Bedeutung von Zufallsvariablen
Zufallsvariablen erleichtern es Statistikern, reale Probleme basierend auf Datenstichproben zu analysieren. Diese Variablen erstellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um Experimente, Datengenerierung und Beobachtungen zu erleichtern.
Arten von Zufallsvariablen
Zufallsvariablen in der Statistik können aufgrund von Wahrscheinlichkeitsverteilungen beliebige Werte annehmen. Zufallsvariablen können basierend auf der Anzahl der Werte in zwei Typen unterteilt werden.
1. Diskrete Zufallsvariablen nehmen eine zählbare, manchmal unendliche Anzahl von unterschiedlichen Werten an. Zum Beispiel liefert ein gewürfelter Würfel eine endliche Anzahl von Ergebnissen (1, 2, 3, 4, 5 und 6). Jedes Würfelergebnis in diesem rein zufälligen Ereignis hat eine gleiche Wahrscheinlichkeit von 1/6.
Arten von diskreten Zufallsvariablen:
- Binomiale Zufallsvariablen zeigen die Anzahl der Erfolge in einem binomialen Experiment, das eine feste Anzahl unabhängiger Versuche mit zwei Ergebnissen hat.
- Geometrische Zufallsvariablen geben die Anzahl der Experimente an, die durchgeführt werden, bevor ein Erfolg erzielt wird. Diese Variablen werden für Experimente mit zwei möglichen Ergebnissen verwendet, d.h. Erfolg und Misserfolg.
- Bernoulli-Zufallsvariablen sind die einfachsten Zufallsvariablen und repräsentieren Erfolg mit 1 und Misserfolg mit 0.
- Poisson-Zufallsvariablen zeigen, wie oft ein unabhängiges Ereignis mit einer konstanten Rate innerhalb eines bestimmten Zeitraums auftritt.
2. Kontinuierliche Zufallsvariablen repräsentieren eine unzählbare Anzahl von Werten innerhalb eines bestimmten Bereichs oder Intervalls. Zum Beispiel ist eine kontinuierliche Zufallsvariable am besten geeignet, um den durchschnittlichen Niederschlag in einer Stadt oder die durchschnittliche Körpergröße einer zufälligen Personengruppe darzustellen. In beiden Fällen kann das resultierende Ergebnis eine kontinuierliche Zahl sein, daher kontinuierliche Zufallsvariablen.
Arten von kontinuierlichen Zufallsvariablen:
- Exponentielle Zufallsvariablen modellieren eine exponentielle Verteilung, um die verstrichene Zeit zwischen zwei Ereignissen darzustellen.
- Normale Zufallsvariablen folgen einer Normalverteilung mit dem Mittelwert μ=0 und der Standardabweichung σ=1.
Zufallsvariable vs. Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Zufallsvariable nimmt einen zufälligen Wert basierend auf dem Ergebnis eines zufälligen Ereignisses an.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine statistische Funktion, die die Chancen zeigt, alle möglichen Werte zu erhalten, die eine Zufallsvariable annehmen kann. Einfach ausgedrückt, repräsentiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung die Chancen mehrerer Ergebnisse in einer Tabelle oder Gleichung.
Eine Tabelle, die den durchschnittlichen monatlichen Niederschlag in einer Stadt für ein bestimmtes Jahr zeigt, ist ein Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Diese monatlichen Werte können kontinuierliche oder diskrete Variablen sein, abhängig davon, ob sie kontinuierliche oder spezifische Werte annehmen.
Sudipto Paul
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